İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Bu dersimizde ikinci dereceden denklemler konu anlatımı, ikinci dereceden denklemler, ikinci dereceden denlemler soru çözümleri, 2. dereceden denklemler soru çözümleri, 2. dereceden denklemler konu anlatımı gibi konuları ele alacağız.

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER, DENKLEM ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

 TANIMLAR:

 

a, b, c Î R  ve  a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 

Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.

 

Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.

 

Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

 

 

UYARI

 

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

 

İlk olarak ax2 + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   3x2 – 5x = 0                   2.   x2 – x – 6 = 0                   3.   2x2 + x – 1 = 0

 

ÇÖZÜMLER :

3x2 – 5x = 0                           2.   x2 - x - 6 = 0                         3.   2x2 + x - 1 = 0

x . (3x – 5) = 0                            (x - 3) . ( x + 2) = 0                    (x + 1) . (2x - 1) = 0

x = 0   V   3x – 5 = 0                   x - 3 = 0   V   x + 2 = 0               x + 1 = 0   V   2x - 1 = 0

 

 

ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

 

ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

 

(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).

Bu kökler gerçel sayı ise b2 - 4ac ³ 0 olması gerekir.

 

 

TANIM :

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b2 - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

 

Denklemin kökleri ise

formülleri ile bulunur.

 

Bu kökler kısaca,

biçiminde yazılır.

 

İrdeleme: ax2 + bx + c = 0 denkleminde  D = b2 - 4ac iken

 

1.   D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

 

Bunlar

dır.

 

UYARI

a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır.

 

2.   D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

D = 0 olduğundan (ax2 + bx + c) ifadesi tamkare olur.

 

3.   D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

 

 

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir.

Bu durumda, D = (b)2 - ac

 

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1.   x2 + 3x - 1 = 0               2.   2x2 - 3x + 10 = 0               3.   x2 - 2

 

ÇÖZÜMLER :

1. x2 + 3x - 1 = 0                                              2.   2x2 - 3x + 10 = 0

a = 1,   b = 3,   c = -1                                         a = 2, b = - 3, c= 10

D = (3)2 - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13                       D = (-3)2 - 4.2.10 = 9 - 80 = -71

D < 0 olduğundan Ç = Æ dir.

 

 

 

 

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

 

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

 

P(x).Q(x) =Û  P(x) = 0   V   Q(x)   = 0

 

 

ÖRNEKLER:


1.   2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0                                           2.   3(x - 4)2 - 48 = 0

x2 (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0                                               3[(x - 4)2 - 16] = 0 Þ (x - 4)2 - 42 = 0

(2x + 3) (x2 - 9) = 0                                                          (x - 4) - 4 = 0   V   (x - 4) + 4 = 0

(2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0                                                      x - 8 = 0                         x = 0

2x + 3 = 0   V   x - 3 = 0   V   x + 3 = 0                                           x = 8

 

 

RASYONEL DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 

 

 

YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

 

ÖRNEK:   x6 + 26x3 - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x3 = t olsun x6 = (x3)2 = t2 olur.

Buradan denklem

t2 + 26t - 27 = 0  biçimine dönüşür.

Þ (t + 27) . (t - 1) = 0

t + 27 = 0   V   t - 1 = 0

t = -27      t = 1

x3 = -27     x3 = 1

x = -3           x = 1

Ç = {-3,1}

 

 

 

KÖKLÜ DENKLEMLER

 

n Î N+ ve P(x)  Π R[x]  olmak üzere

 

 

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1.          Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.

2.          Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.

3.          Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 eşitliğinin sağlanması için,

x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³Þ x ³ -4 olmalıdır.

x + 6 = x2 + 8x + 16 Þ x2 + 7x + 10 = 0

(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5   V   x = -2

Þ Ç = {-2}

 

 

 

ÜSLÜ DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 dır.

(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0   V   x - 2 = 0

Þ x = -3              x = 2

Ç = {-2, 3}

 

 

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

 

Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.

n Î N+

 

ÖRNEK:

x2 - |x|- 2 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - |x| - 2 = 0

Þ         x2 - (-x) - 2 = 0

Þ         x2 + x - 2 = 0

Þ         (x + 2) . (x - 1) = 0

x = -2        x = 1

Ç1 = {-2}

x ³ 0 Þ |x| = x dir.

Þ         x2 - x - 2 = 0

(x - 2)  (x + 1) = 0

x = 2   V   x = -1

Ç2 = {2}

Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç1 È Ç2 dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur.

 

 

DENKLEM SİSTEMLERİ

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

x + y = 20   Þ   y = 20 - x,   x .y = 64   Þ   x . (20 - x) = 64

20x - x2 = 64   Þ   x2 - 20x + 64 = 0

Þ   (x - 16) (x - 4) = 0,            x1 = 16   V   x2 = 4

Þ   y1 = 20 - 16       Þ y2 = 20 - 4

y1 = 4                      y2 = 16

Ç = {(16, 4) , (4, 16)}

 

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

PAREMETRELİ DENKLEMLER

 

İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir.

 

Örneğin; mx2 - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 - (a - b)x + a . b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

 

ÖRNEK:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0

x = -1 için (m - 3) (-1)2 - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0

m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0

6m = 6   Þ   m = 1

 

 

ÖRNEK:

mx2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

 

ÇÖZÜM:

x1 = x2 ise D = 0 olmalıdır.

Þ   (b)2 - ac = 0   D   [ - (m - 1)]2 - m(m - 5) = 0

 

UYARI

İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

3 / 2x2 - (n - 1)x - m + 6 = 0

2 / 3x2 - 2x + 2m - 1 = 0

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı   D = b2 - 4ac ve kökleri

idi.

 

 

 

UYARI

Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

 

ÖRNEK:

2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

x12 + x22 = 4 ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

Denklemde a = 2,   b = -4,   c = m - 3 dür.

16 - 4m + 12 = 16

m = 3

 

 

ÖRNEK:

2x2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

Denklemin kökleri x1, x2 olsun.

İstenen bağıntı (x1 - 3) . (x2 - 3) dür.

Buna göre;

(x1 - 3) . (x2 - 3) = x1x2 - 3x1 - 3x2 + 9

 

 

 

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK

 

Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x1) . (x - x2) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 denklemi elde edilir.

 

ÖRNEK:

Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 Þ x2 - (-1) . x + (-6) = 0

Þ x2 + x - 6 = 0 dır.

 

ÖRNEK:

Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:

 

UYARI

a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü

 dur.


Diğer Matematik Notları, Testleri ve Videolarına Sağdaki Menüden Ulaşabilirsiniz.



İLGİLİ KONULAR
BENZER KONULARI SİTE İÇİNDE ARAYIN








  • SİTE İÇİ ARAMA
  • Kariyerdersleri.com
  • KATEGORİLER
  • HAKKIMIZDA
Ramazan Ayının bereketi hanenize, hoşgörüsü gönüllerinize, sabrı ruhunuza dolsun; hoşgeldin on bir ayın sultanı Ya Şehr-i Ramazan
KPSS MATEMATİK KPSS GEOMETRİ KPSS VATANDAŞLIK KPSS TÜRKÇE KPSS TARİH KPSS COĞRAFYA
İNGİLİZCE ALMANCA İTALYANCA KARİYER OYUN BİLGİSAYAR YAZILIM BİLGİSAYAR NETWORK
BİLGİSAYAR DONANIM BİLİŞİM TERİMLERİ CİLT VE CİLT BAKIMI HASTALIKLARIMIZ İNSAN VÜCUDU NEDİR