Ortak Katların En
Küçüğü OKEK
Ortak Katların En Küçüğü OKEK
Bu dersimizde okek nasıl bulunur, okek hesaplama, okek bulma, okek çözümlü sorular, okek nedir, okek ile ilgili çözümlü sorular gibi konuları ele alacağız.
İki veya daha çok sayının
her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok
sayının OKEK' ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri
cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük
olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.
1. Aralarında asal sayıların OKEK' i, bu sayıların
çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar
ise,
(a, b)OKEK = a . b dir.
2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının
OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına
eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için
a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir.
3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere,
(a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir.
4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere,
(a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y
ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + y dir.
5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının
çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak
üzere,
(a, b)OKEK = a . b dir.
6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise,
(a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir.
Örnek 1:
18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz.
Çözüm:
1. Yol:
18 = 2 . 3²
45 = 3² . 5
olduğundan, (18, 45)OKEK = 3² . 2 . 5 = 90 olur.
2. Yol:
(18, 45)OKEK = 2 . 3² . 5 = 90 dır.
Örnek 2:
a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu
sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
a = 16 olsun. (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8 olduğuna göre,
a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB
16 . b = 48 . 8
b = 24
bulunur.
Örnek 3:
Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna
göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK'
inin toplamı kadar olabileceğinden,
120 + 8 = 128 dir.
Örnek 4:
Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması
biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük
boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp
yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm,
4 cm, 6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle,
(2, 4, 6)OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı =
12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp
sayısı,
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 =
36
tane olur.
Örnek 5:
a, b, c asal sayılar olmak üzere,
x = a² . b³ . c5 ve y = a5 . c²
ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz.
Çözüm:
(x, y)OBEB = a² . c² = (a . c)²
(x, y)OKEK = a5 . b³ . c5 olur.
Örnek 6:
Ayşe toplarını 2' şer 2' şer, 4' er 4' er, 6' şar 6' şar
sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu
vardır?
Çözüm:
Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.
Örnek 7:
2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2
basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
[(2, 3, 4)OKEK] . k + 1 <= 99
24 . k + 1 <= 99
k = 4 olur. Buradan, sayı
24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97
bulunur.
Örnek 8:
İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm
vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü
sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar
birlikte alarm verirler?
Çözüm:
Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda
alarm verirler. Dolayısıyla,
(5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat
sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü saat 15.00' de
tekrar alarm vereceklerdir.
Örnek 9:
Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı
olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?
Çözüm:
5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde,
(5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.
Örnek 10:
OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük
ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?Çözüm:
(a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre,
a = 7 ve b = 7
alınabilir. Bu durumda, a ile b' nin toplamının en büyük değeri
a + b = 7 + 7 = 14 ... (1)
olur. Diğer taraftan,
a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b' nin toplamının en küçük değeri
a + b = 1 +7 = 8 ... (2)
olur. Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı
14 . 8 = 112
bulunur.
Örnek:40 ile m sayısının OBEB ve OKEK'leri çarpımı 1400
olduğuna göre m sayısı kaçtır?
Çözüm: OBEB (40, m) . OKEK (40, m) = 1400
40 . m = 1400 m = 35 bulunur.
Örnek: Boyutları 3, 5 ve 8 cm olan karton kutular yanyana ve
üstüste konularak, en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor. Bu
iş için kaç kutu gereklidir?
Çözüm:x-3 = 4a = 5b + 5 = 7c-14 (her birinin 3 eksiği
alınır.)
x-3 = 4a = 5(b + 1) = 7.(c-2)
x - 3 = EKOK (4, 5, 7)
x - 3 = 4 . 5. 7 x = 143 bulunur.
Diğer Matematik Notları, Testleri ve Videoları İçin Tıklayınız