Taban Aritmetiği Konu Anlatımı
Taban Aritmetiği Konu Anlatımı
Bu dersimizde taban aritmetiği çözümlü sorular, ondalık sayılarda taban aritmetiği, taban aritmetiği nedir, taban aritmetiği bölme, taban aritmetiği ygs, taban aritmetiği örnek sorular gibi konuları ele alacağız.
Herhangi bir sayı sisteminden onluk sayı sistemine geçiş:
Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçebilmek için,
basamak (hane) çözümlemesi yapılmalıdır. n, bir sayı sisteminin
tabanını göstermek üzere
n >= 2 olacak şekilde bir doğal sayı ise, (abcde)n sayısı onluk sayı
sistemine şöyle dönüştürülür.
Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım.
81 9 1
( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8
= 81.2 + 9.1 + 1.8
= 162 + 9 + 8
= 179
Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım.
49 7 1
( 3 0 5)7 = 7².3 + 7¹.0 + 7°.5
= 49.3 + 7.0 + 1.5
= 147 + 0 + 5
= 152
Onluk sayı sisteminden Diğer sayı sistemlerine geçiş:
Onluk tabandaki bir sayı diğer tabanlara çevrilirken geçilmesi
istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayı o sayıya
bölünmelidir. Bölme işlemi, bölümdeki sayı taban sayısından küçük
olana kadar yapılmalıdır. Yeni tabandaki sayı, en sondan başlanarak
önce bölüm sonra da kalanlar sırasıyla yazılarak elde edilir.
Onluk taban dışındakİ bir tabandan başka bir tabana geçiş:
Verilen sayı önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk
tabandaki sayı, geçilmek istenen tabana dönüştürülür. Yani, n
verilen taban ve m istenen taban ise, dönüşümün mantığı şu
şekildedir:
Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüşümünü yapalım.
Önce 2 tabanındaki 1011 sayısını Onluk tabana çevirelim.
8 4 2 1
( 1 0 1 1 )2 = 2³.1 + 2².0 + 2¹.1 + 2°.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1
= 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Şimdi de Onluk tabandaki 11 sayısını 7 tabanına çevirelim. 11
sayısını, 7' ye böldüğümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacağından,
(11)10 = (14)7
sonucunu elde ederiz. Dolayısıyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur.
Onluk taban dışındaki tabanlardaki sayıların tekliği veya
çiftliği:
Sayının tabanı çift ise, sayının son rakamına (birler basamağındaki
rakamına) bakılarak karar verilir. Şayet sayının son rakamı çift
ise, sayı çifttir. Şayet sayının son rakamı tek ise, sayı tektir.
Örneğin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur.
Sayının tabanı tek ise, sayının rakamları toplamına bakılarak karar
verilir. Şayet sayının rakamları toplamı çift ise, sayı çifttir.
Şayet sayının rakamları toplamı tek ise, sayı tektir. Örneğin,
(234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur.
Onluk taban dışındaki tabanlarda aritmetik İşlemler:
Taban aritmetiği Toplama İşlemi:
Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2
( 1 0 1 )2
+ ( 1 1 )2
__________
( 1 0 0 0 )2
İkilik tabanda 1 ile 1' in toplamı 10' dır. Dolayısıyla, ilgili
basamağa 0 yazılır ve 1 sayısı bir önceki basamağa eklenir.
Örnek: (234)5 + (143)5 = ( ? )5
Birler basamağının toplamı, 4 + 3 = 7' dir. 7, 5 tabanında 12' dir.
Dolayısıyla, birler basamağına 2 yazıp, beşler basamağına 1 ekleriz.
Beşler basamağının toplamı, 3 + 4 + 1 (birler basamağından eklenen)
= 8 olur. 8, 5 tabanında 13' tür. Dolayısıyla, beşler basamağına 3
yazıp, yirmibeşler basamağına 1 ekleriz.
Yirmibeşler basamağının toplamı, 2 + 1 + 1 (beşler basamağından
eklenen) = 4 olarak bulunur.
Sonuç olarak, toplam (432)5 olur.
Taban aritmetiği Çıkarma İşlemi:
Örnek: (132)5 - (23)5 = ( ? )5
Birler basamağının farkı, 2' den 3 çıkartılamayacağı için, beşler
basamağından 1 alınmalıdır (yani, 5 alınmalıdır). Bu durumda, 7' den
3 çıkartılarak 4 bulunur.
Beşler basamağından 1 alındığı için, burada 2 kalmıştır. Böylece, 2'
den 2 çıkartıldığında 0 kalır.
Yirmibeşler basamağındaki 1 sayısından birşey çıkartılmadığı için
aynen alınır.
Sonuç olarak, fark (104)5 bulunur.
Taban aritmetiği Çarpma İşlemi:
Örnek: (144)5 x (23)5 = ( ? )5
(144)5 x (23)5 = (144)5 x (3)5 + (144)5 x (2)5 = ( 1 0 4 2 )5
+ ( 3 4 3 )5
= ( 1 0 0 2 2 )5
Çarpma işleminin mantığı, onluk tabandaki çarpma işlemine çok
benzer. 5 tabanındaki 144 ile 3' ün çarpımı şöyle yapılır:
Birler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir. Birler
basamağına 2 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu
için, beşler basamağına 2 aktarılır.
Beşler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir ve buna birler
basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 14 elde edilir.
Beşler basamağına 4 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane
olduğu için, yirmibeşler basamağına 2 aktarılır.
Yirmibeşler basamağı: 1 ile 3' ün çarpımı 3' tür ve beşler
basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 5 elde edilir. 5
tabanında 5, 10 olduğu için yirmibeşler basamağına 0 ve
yüzyirmibeşler basamağına da 1 yazılır.
Örnek: ( 25m0 )6 = ( 642 )10 ise, m = ?
216 36 6 1
( 2 5 m 0 )6 = ( 642 )10
216.2 + 36.5 + 6.m + 1.0 = 642
432 + 180 + 6m + 0 = 642
612 + 6m = 642
6m = 642 - 612
6m = 30
m = 5
Örnek: ( 102 )m + ( 145 )m = ( 251 )m ise, m = ?
m2 m 1 m2 m 1 m2 m 1
( 1 0 2 )m + ( 1 4 5 )m = ( 2 5 1 )m
( m².1 + m.0 + 1.2 ) + ( m².1 + m.4 + 1.5 ) = m².2 + m.5 + 1.1
m² + 2 + m² + 4m + 5 = 2m² + 5m +1
2m² + 4m + 7 = 2m² + 5m + 1
4m +7 = 5m + 1
7 - 1 = 5m - 4m
6 = m
Örnek: ( 124 )5 + ( 103 )5 = ( m2n )7 ise, m = ?
( 124 )5 + ( 103 )5 = ( 232 )5 bulunur. ( 232 )5 sayısını onluk
tabana çevirelim.
25 5 1
( 2 3 2 )5 = 25.2 + 5.3 + 1.2 = 50 + 15 + 2 = 67 olur.
Şimdi de onluk tabandaki 67 sayısını 7' lik tabana çevirelim.
67 : 7 = 7.9 + 4 olur. Bölüm 9 ve kalan 4 dir.
9 : 7 = 7.1 + 2 olur. Kalan 2 ve bölüm 1 olur. En sondaki bölümle
kalanlar tersten yazılarak, ( 67 )10 = ( 124 )7 bulunur.
Buradan,
( m2n )7 = ( 124)7
olduğundan, m = 1 bulunur.
TABAN ARİTMETİGİ
Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sIstemIne geçiş:
Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sistemine geçebilmek için,
basamak (hane) çözümlemesi yapilmalidir. n, bir sayi sisteminin
tabanini göstermek üzere
n >= 2 olacak sekilde bir dogal sayi ise, (abcde)n sayisi onluk sayi
sistemine söyle önüstürülür:
Dogaldir ki, sayi sistemlerinin özelligine göre, sayiyi olusturan
rakamlar daima tabandan küçük olmalidir.
Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.
81 9 1
( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8
= 81.2 + 9.1 + 1.8
= 162 + 9 + 8
= 179
Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.
49 7 1
( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5
= 49.3 + 7.0 + 1.5
= 147 + 0 + 5
= 152
Onluk sayi sIstemInden DIger sayi sIstemlerIne geçIs:
Onluk tabandaki bir sayi diger tabanlara çevrilirken geçilmesi
istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayi o sayiya
bölünmelidir. Bölme islemi, bölümdeki sayi taban sayisindan küçük
olana kadar yapilmalidir. Yeni tabandaki sayi, en sondan baslanarak
önce bölüm sonra da kalanlar sirasiyla yazilarak elde edilir.
Örnek: (194)10 = ( ? )5 taban dönüsümünü yapalim.
Örnek: (179)10 = ( ? )9 taban dönüsümünü yapalim.
Onluk taban disindaki bir tabandan baska bir tabana geçIs:
Verilen sayi önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki
sayi, geçilmek istenen tabana dönüstürülür. Yani, n verilen taban ve
m istenen taban ise, dönüsümün mantigi su sekildedir:
Örnek: (132)5 = ( ? )8 taban dönüsümünü yapalim.
Önce 5 tabanındaki 132 sayisini Onluk tabana çevirelim.
25 5 1
( 1 3 2 )5 = 5².1 + 5¹.3 + 5°.2 = 25.1 + 5.3 + 1.2 =25 + 15 + 2 = 42
Simdi de Onluk tabandaki 42 sayisini 8 tabanina çevirelim.
Böylece, (132)5 = (52)8 olarak bulunur.
Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüsümünü yapalim.
Önce 2 tabanindaki 1011 sayisini Onluk tabana çevirelim.
8 4 2 1
( 1 0 1 1 )2 = 2³.1 + 2².0 + 2¹.1 + 2°.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1
= 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Simdi de Onluk tabandaki 11 sayisini 7 tabanina çevirelim. 11
sayisini, 7 ye böldügümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacagindan,
(11)10 = (14)7
sonucunu elde ederiz. Dolayısıyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur.
Onluk taban disindakI tabanlardakI sayilarin tekligi veya çiftligi:
Sayinin tabani çift ise, sayinin son rakamina (birler basamagindaki
rakamina) bakılarak karar verilir. Sayet sayinin son rakami çift
ise, sayi çifttir. Sayet sayinin son rakami tek ise, sayi tektir.
Örnegin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur.
Sayinin tabani tek ise, sayinin rakamlari toplamina bakilarak karar
verilir. Sayet sayinin rakamlari toplami çift ise, sayi çifttir.
Sayet sayinin rakamlari toplami tek ise, sayi tektir. Örnegin,
(234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur.
Onluk taban dışındaki tabanlarda aritmetik Islemler:
Toplama işlemi:
Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2
( 1 0 1 )2
+ ( 1 1 )2
Ondalık sayılarda taban aritmetiği
Örneğin onluk tabandaki bir sayıyı :
0.123 = 1x 1/10 + 2x 1/100 + 3x 1/1000 şeklinde düşünebiliriz.
Benzer şekilde farklı bir tabandaki sayıyı da o tabandaki üstler olarak düşünmek gerekir:
(0.23)8 = 2 x 1/8 + 3 x 1/64
Diğer Matematik Notları, Testleri ve Videoları İçin Tıklayınız